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das
Dezimalzeichen um eine Stelle von der Linken gegen die Rechte rückt.
Ist die Zahl eine ganze Zahl, so wird die[10] dadurch leer werdende
Stelle der Einer mit einer Null ausgefüllt.
Um einen gegebenen Dezimalbruch mit einer ganzen Zahl zu
multiplizieren, betrachte man ihn als eine ganze Zahl und schneide
sodann vom Produkte soviele Dezimalstellen ab, als deren der
gegebene Dezimalbruch enthält.
2.
Eine Zahl enthält den Faktor 9 und ist daher durch 9 teilbar, wenn die
Quersumme[1] der Ziffern, mit welcher die Zahl geschrieben wird,
durch 9 teilbar ist.
Eine Zahl enthält den Faktor 11 und ist also[2] durch 11 teilbar, wenn
die Quersumme der ersten, dritten, fünften, siebenten etc. (d. h.[8] der
ungeradstelligen[3]) gleich der Quersumme der 2., 4., 6., 8., etc. (d. h.
der geradstelligen) Ziffern, von der Rechten gegen die Linke gezählt,
ist, oder die Differenz dieser beiden Quersummen 11 oder ein
Mehrfaches[4] von 11 beträgt.
Nur Brüche mit gleichen Nennern[5] können addiert und subtrahiert
werden.
Gleichnamige Brüche werden addiert, indem man ihre Zähler[5]
addiert.
Brüche mit ungleichen Nennern werden addiert oder subtrahiert, indem
man[6] sie zuerst in Brüche mit gleichen Nennern verwandelt, und
diese sodann addiert oder subtrahiert.
Man zerlege die Nenner der gegebenen Brüche in ihre
Grundfaktoren,[7] d. h. in ihre kleinsten Faktoren.
Man nehme aus der Reihe dieser Grundfaktoren zur Bildung des

gemeinschaftlichen Nenners so viele als zur Darstellung jedes
einzelnen Nenners, an und für sich[9] betrachtet, nötig sind.
Aus den auf diese Weise ausgewählten Grundfaktoren bildet man
sodann ein Produkt; dieses ist alsdann der kleinste gemeinschaftliche
Nenner.
Unter Brüchen von gleichen Nennern und ungleichen Zählern ist
derjenige der grössere und beziehungsweise[10] der grösste, welcher
den grösseren bezw. den grössten Zähler hat, und umgekehrt; und zwar:
wievielmal grösser oder kleiner der Zähler eines Bruches als der Zähler
eines anderen Bruches ist, sovielmal grösser oder kleiner ist auch der
Wert des einen als der Wert des anderen Bruches.
Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, entweder (a) indem
man den Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert; oder (b) indem man
den Nenner durch die ganze Zahl dividiert.
Ein Bruch wird durch einen andern Bruch dividiert, indem man den
Disivor umkehrt, (d. h. indem man dessen Nenner zum Zähler macht)
und alsdann mit demselben multipliziert.
Das Verfahren, den grössten gemeinschaftlichen Faktor zweier Zahlen
zu finden, besteht darin[11], dass man mit der kleineren der beiden
Zahlen in die grössere, mit dem hierbei erhaltenen Reste in den vorigen
Divisor, mit dem hierbei bleibenden Reste in den nächst
vorhergehenden Divisor etc. dividiert. Erhält man endlich keinen Rest
mehr, so zeigt dies an, dass der letzte Divisor der grösste
gemeinschaftliche Faktor der beiden betreffenden[12] Zahlen ist.
Man findet das vierte Glied[12] einer geometrischen Proportion, indem
man das Produkt des zweiten und dritten Gliedes durch das erste Glied
dividiert.
Das Produkt der äusseren Glieder ist gleich dem Produkt der inneren
Glieder. Das erste Hinterglied[13] verhält sich zum ersten
Vorderglied[13], wie das zweite Hinterglied zum zweiten Vorderglied.

Eine Progression heisst steigend, wenn jedes folgende Glied derselben
grösser; fallend, wenn jedes folgende Glied kleiner ist als das
vorhergehende.
3.
AUFGABEN.
1. Die Zahl 5 soll[1] erhoben werden: a) ins Quadrat[2], b) in den
Kubus, c) ins Biquadrat, d) in die fünfte Potenz.
2. Aus 64 soll ausgezogen werden: a) die Quadratwurzel, b) die
Kubikwurzel.
3. Bei einem Geschäfte verdienen 5 Arbeiter in 42 Tagen bei
8stündiger Arbeit $210. Was würden 9 Arbeiter in 35 Tagen bei
10stündiger Arbeit verdienen?
Auflösung. Je mehr Arbeiter, desto mehr Verdienst; also setzt man 5:9.
Je weniger Tage, desto weniger Verdienst; also 42:35. Je mehr Stunden,
desto mehr Verdienst; also 8:10. Nun multipliziert man $210 mit dem
Produkt aus den Hintergliedern und dividiert durch das Produkt aus den
Vordergliedern, was man dadurch vereinfacht[3], dass man erst die
gemeinschaftlichen Faktoren herausnimmt.
4. Ein Kaufmann findet, dass er durch einen glücklichen Handel mit
seinem angelegten Kapital 15 Prozent gewonnen hat und dass dasselbe
dadurch auf $15,571 angewachsen ist. Was war sein angelegtes Kapital?
Antwort: $13,540.
5. Ein Vater sagt zu seinem Sohne: Gegenwärtig bin ich gerade
sechsmal so alt als du; nach zwölf Jahren werde ich nur dreimal so alt
sein als du; wie alt ist der Vater und wie alt der Sohn?
Auflösung. Es sei[4] x das gegenwärtige Alter des Sohnes; also ist 6x
das des Vaters.
In 12 Jahren ist der Sohn x+12 und der Vater 6x+12 Jahre alt.

Da des Vaters Alter dann 3mal das des Sohnes beträgt[5], so muss man
das des Sohnes mit 3 multiplizieren, um die Gleichung 6x+12=3x+36
zu erhalten.
Indem man nun die x zur linken und die Zahlen zur rechten des
Gleichheitszeichens sammelt, erhält man 3x=24, oder x (das
gegenwärtige Alter des Sohnes)=8, woraus 6x (das gegenwärtige Alter
des Vaters)=48.
Beweis. Die Rechnung stimmt[6], denn in 12 Jahren hat der Sohn
8+12=20 und der Vater 48+12=60 Jahre, ist also dreimal so alt.
6.